Chapitre 1: Les operateurs différentiels §

Définition 1.1: Le gradient §

Soit $\Omega \subseteq {\mathbb{R}}^n$ un ouvert et $f\in C^1(\Omega )$. Le gradient de $f$ noté $\mathrm{grad}f$, $\nabla f$ ou $Df$ est le champs vectoriel défini par $\nabla f:\Omega \to {\mathbb{R}}^n$

$$x\to \nabla f(x):=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(x),\frac{\partial f}{\partial x_2}(x),...,\frac{\partial f}{\partial x_n}(x)\right)$$

Remarque 1.2: §

On écrit $\nabla =\left(\frac{\partial }{\partial x_1}(x),\frac{\partial }{\partial x_2}(x),...,\frac{\partial }{\partial x_n}(x)\right)$ pour que $\nabla f$ se comporte comme une ” multiplication par scalaire” du “vecteur” $\nabla$ avec le scalaire $f$. On interprète

$$\frac{\partial }{\partial x_i}\cdot f=\frac{\partial f}{\partial x_i}$$

Définition 1.4: La divergence §

Soit $\Omega \subseteq {\mathbb{R}}^n$ un ouvert et $F\in C^1(\Omega ;{\mathbb{R}}^n)$, La divergence de F notée div$F,\nabla \cdot F,<\nabla ,F>$ est le champs scalaire défini par $\mathrm{div}F:\Omega \to \mathbb{R}$

$$x\to \mathrm{div}F(x)=\sum _{i=1}^n\frac{\partial F_i}{\partial x_i}(x)=\frac{\partial F_1}{\partial x_1}(x)+...+\frac{\partial F_n}{\partial x_n}(x)$$

Définition 1.6: Le rotationnel §

Soit $\Omega \subseteq {\mathbb{R}}^n$ un ouvert et $F\in C^1(\Omega ;{\mathbb{R}}^n)$. Alors le rotationnel de $F$ noté $\mathrm{rot}F$ est défini par: Si $n=2$ et $F(x)=(F_1(x),F_2(x)),F\in C^1(\Omega ,{\mathbb{R}}^2)$, alors $\mathrm{rot}F$ est défini par

$$\mathrm{rot}F=\frac{\partial F_2}{\partial x_1}-\frac{\partial F_1}{\partial x_2}\in \mathbb{R}$$

Si $n=3$ et $F(x)=(F_1(x),F_2(x),F_3(x)),F\in C^1(\Omega ,{\mathbb{R}}^3)$, alors $\mathrm{rot}F$ est défini par

$$\mathrm{rot}F=\left(\frac{\partial F_3}{\partial x_2}-\frac{\partial F_2}{\partial x_3},\frac{\partial F_1}{\partial x_3}-\frac{\partial F_3}{\partial x_1},\frac{\partial F_2}{\partial x_1}-\frac{\partial F_1}{\partial x_2}\right)\in {\mathbb{R}}^3$$

Technique pour le calcul de $\mathrm{rot}F$ dans le cas $n=3$

$$\mathrm{rot}F=\left|\begin{array}{ccc}{e}_1& e_2& e_3\\ \frac{\partial }{\partial x_1}& \frac{\partial }{\partial x_2}& \frac{\partial }{\partial x_3}\\ F_1& F_2& F_3\end{array}\right|$$

Définition 1.8: Le Laplacien §

Soit $\Omega \subseteq {\mathbb{R}}^n$ un ouvert et $f\in C^2(\Omega )$, Le Laplacien de f noté $\Delta f$ est défini par $\Delta f:\Omega \to \mathbb{R}$

$$x\to \Delta F(x)=\sum _{i=1}^n\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i^2}(x)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1^2}(x)+...+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n^2}(x)$$

Théorème 1.10: §

Soit $\Omega \subseteq {\mathbb{R}}^n$ un ouvert et $f\in C^2(\Omega ),F\in C^2(\Omega ;{\mathbb{R}}^n$). Alors,

1. $\mathrm{div}(\nabla f)=\Delta f\forall n\ge 2$
2. $\mathrm{rot}(\nabla f)=0n=2,3$
3. $\mathrm{div}(\mathrm{rot}F)=0$